Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 24. ПІРАМІДИ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ

Пірамідою (n-кутною) називаєтеся многогранник, у якого одна грань є довільним n-кутником, а інші n граней — трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник називається основою, а трикутники — бічними гранями. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.

На рис. 1 зображено піраміду SABCD, ABCD — основа; ∆SAВ, ∆SBC, ∆SCD, ∆SDA — бічні грані піраміди; 5 — вершина піраміди; SA, SB, SC, SD — бічні ребра.

Висотою піраміди називаєтеся перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину основи. На рис. 1 SO — висота піраміди.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а основа висоти піраміди співпадає з центром цього многокутника

Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.

На рис. 2 зображено правильну трикутну піраміду SABC, SK ⊥ СВ, SK — апофема

— двогранні кути при основі рівні;

— двогранні кути при бічних ребрах рівні;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх вершин основи;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних ребер.

Діагональним перерізом піраміди називається переріз площиною, яка проходить через два бічних

ребра піраміди, що не належать одній грані.

Властивості паралельних перерізів піраміди Теорема. Якщо піраміда перерізаєтеся площиною, паралельною основі, то:

1) бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;

2) переріз — многокутник, подібний основі;

3) площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.

Якщо довільну n-кутну піраміду перерізати площиною, паралельною основі, то ця площина відітне від піраміди многогранник, дві грані якого подібні n-кутники, а інші я граней — трапеції. Цей многогранник називаєтеся зрізаною пірамідою (рис. 3).

Паралельні грані зрізаної піраміди називаються основами, а всі інші — бічними. Висотою зрізаної піраміди називаєтеся перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину- іншої основи.

Зрізана піраміда називається правильною, якщо вона складає частину правильної піраміди. Висота бічної грані правильної зрізаної піраміди, проведена до ребра основи, називається апофемою.

У правильній зрізаній піраміді:

— двогранні кути при кожній основі рівні;

— двогранні кути при бічних ребрах рівні;

— кожна точка прямої, яка проходить через центри її основ, рівновіддалена від усіх вершин кожної основи, рівновіддалена від площин бічних граней, рівновіддалена від прямих, на яких лежать бічні ребра.

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. В основі піраміди лежить десятикутник. Скільки ця піраміда має граней?

Шлях до математики: кроки успіху

Б.
Маємо один чотирикутник – основу і 4 трикутника – бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди.

В.
Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12:2=6 ребер основи. Маємо 6 бічних граней та 1 грань основи. Разом 7 граней.

Г. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Так як діагональ квадрата зі стороною а можна знайти за формулою d=a , то АС=12 см. Тоді АО=АС:2=6 . Так як SO – висота, то трикутник ASO прямокутний і за теоремою Піфагора AS 2 =AO 2 +OS 2 =36⋅2+9=72+9=81. Тоді бічне ребро AS дорівнює 9 см.

Г. Кут SKO між апофемою SK і її проекцією ОК є кутом між площиною основи і апофемою і дорівнює за умовою 45 o . Тоді прямокутний трикутник SKO є рівнобедреним (два кути по 45 o ) і ОК=SO=24. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2⋅OK=2⋅24=48.

Г. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює Р:4=72:4=18 см. Так як SK – апофема, то ОК перпендикуляр до CD і тоді він дорівнює половині сторони квадрата. Отже Ок=18:2=9 см. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OS 2 =SK 2 -OK 2 =225-81=144. Тоді висота піраміди дорівнює 12 см.

Б. Оскільки SK – апофема, то відрізок SK перпендикулярний до сторони основи і за теоремою про три перпендикуляри відрізок ОК також перпендикулярний до сторони основи. Тоді кут між площиною бічної грані і площиною основи є кутом між SK і OK. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OK 2 =SK 2 -OS 2 =25-16=9. Тоді ОК=3 см. З цього ж прямокутного трикутника косинус потрібного кута дорівнює відношенню прилеглого катета (ОК) до гіпотенузи (SK), тобто .

З прямокутного трикутника SOD за теоремою Піфагора OD 2 =SD 2 -SO 2 =25-9=16. Тоді OD дорівнює 4 см. Оскільки проекцією ребра SD на площину основи є відрізок OD, то кутом між бічним ребром і площиною основи є кут ODS. cos∠ODS=OD:SD=4:5=0,8.