Скільки градусів кути в прямокутному трикутнику

Примітка. У даному уроці викладено теоретичні матеріали і рішення завдань з геометрії на тему “медіана у прямокутному трикутнику”. Якщо Вам необхідно вирішити завдання з геометрії, якої тут немає – пишіть про це у форумі. Майже напевно курс буде доповнено.

Властивості медіани прямокутного трикутника

Визначення медiани

Медіаною трикутника називається відрізок, що з’єднує один з кутів трикутника з серединою протилежної йому сторони.
(медіаною також називають пряму, що містить даний відрізок)

• Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться цією точкою на дві частини у відношенні 2:1, рахуючи від вершини кута. Точка їх перетину називається центром тяжіння трикутника (відносно рідко у завданнях для позначення цієї точки використовується термін “центроїд”)
• Медіана розбиває трикутник на два рівновеликих трикутника
• Трикутник ділиться трьома медианами на шість рівновеликих трикутників
• Більшої сторони трикутника відповідає менша медіана.

Задачі з геометрії, пропоновані для вирішення, в основному, використовують наступні властивості медіани прямокутного трикутника:

• Сума квадратів медіан, опущених на катети прямокутного трикутника дорівнює п’яти квадратах медіани, опущеною на гіпотенузу (формула 1)
• Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи (формула 2)
• Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо прямокутного трикутника (формула 3)
• Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює половині квадратного кореня з суми квадратів катетів (формула 4)
• Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від ділення довжини катета на два синуса противолежащего катету гострого кута (формула 5)
• Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від ділення довжини катета на два косинуса прилеглого катету гострого кута (формула 6)
• Сума квадратів сторін прямокутного трикутника дорівнює восьми квадратах медіани, опущеною на його гіпотенузу (формула 7)

Позначення в формулах:
a, b – катети прямокутного трикутника
c – гіпотенуза прямокутного трикутника
Якщо позначити трикутник, як ABC, то

Задача про медіану у прямокутному трикутнику

Медіани прямокутного трикутника, проведені до катетам, дорівнюють, відповідно, 3 см і 4 див. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Рішення.

Перш ніж розпочати вирішення завдання, звернемо увагу на співвідношення довжини гіпотенузи прямокутного трикутника і медіани, яка опущена на неї. Для цього звернемося до формулами 2, 4, 5 властивостей медіани в прямокутному трикутнику. В цих формулах явно вказано співвідношення гіпотенузи і медіани, яка на неї опущена як 1 до 2. Тому,для зручності майбутніх обчислень (що ніяк не вплине на правильність рішення, але зробить його більш зручним), позначимо довжини катетів AC і BC через змінні x та y як 2x і 2y (а не x і y).

Розглянемо прямокутний трикутник ADC. Кут C у нього прямий за умовою задачі, катет AC – загальний з трикутником ABC, а катет CD дорівнює половині BC згідно властивостям медіани. Тоді, по теоремі Піфагора

Оскільки AC = 2x, CD = y (так як медіана ділить катет на дві рівні частини), то
4x 2 + y 2 = 9

Одночасно, розглянемо прямокутний трикутник EBC. У нього також кут З прямою за умовою задачі, катет BC є спільним з катетом BC вихідного трикутника ABC, а катет EC за властивістю медіани дорівнює половині катета AC вихідного трикутника ABC.
По теоремі Піфагора:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Оскільки EC = x (медіана ділить катет навпіл), BC = 2y, то
x 2 + 4y 2 = 16

Так як трикутники ABC, EBC і ADC пов’язані між собою загальними сторонами, то обидва отриманих рівняння також пов’язані між собою.
Розв’яжемо отриману систему рівнянь.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Складемо обидва рівняння (втім, можна було вибрати і будь-який інший спосіб рішення).
5x 2 + 5y 2 = 25
5( x 2 + y 2 ) = 25
x 2 + y 2 = 5

Звернемося до вихідного трикутника ABC. За теоремою Піфагора
AC 2 + BC 2 = AB 2

Так як довжина кожного з катетів нам “відома”, ми прийняли, що їх довжина дорівнює 2x і 2y, тобто
4x 2 + 4y 2 = AB 2
Так як обидва доданки мають спільний множник 4, винесемо його за дужки
4 ( x 2 + y 2 ) = AB 2
Чому дорівнює x 2 + y 2 ми вже знаємо (див. вище x 2 + y 2 = 5), тому просто підставимо значення замість x 2 + y 2

AB 2 = 4 х 5
AB 2 = 20
AB = √20 = 2√5

Відповідь: довжина гіпотенузи дорівнює 2√5

Тангенс кута – що це таке і як його знайти в прямокутному трикутнику

У геометрії і тригонометрії трикутник є одним з основних геометричних фігур, який складається з трьох сторін і трьох кутів. Коли мова йде про прямокутний трикутник, особлива увага зосереджується на його кутах та відношеннях між сторонами. Один з таких важливих відношень – це тангенс кута.

У цій статті ми розглянемо, що таке тангенс кута, як його знайти в прямокутному трикутнику та як це використовується у тригонометрії.

Що таке тангенс кута?

Тангенс кута визначається як відношення протилежного катету до прилеглого катету в прямокутному трикутнику.

Іншими словами, якщо у нас є прямокутний трикутник ABC з кутом BAC який дорівнює α, то тангенс кула α дорівнює довжині протилежного катета BC, розділеної на довжину прилеглого катета AС:

Зауваження: якщо позначити довжину сторін AB, BC та AC трикутника ABC буквами c, a і b відповідно, то формула тангенса кута перепишуться у більш зручному для використання вигляді:

Порівняння тангенсу кута з іншими тригонометричними функціями.

Тангенс кута відрізняється від інших тригонометричних функцій, таких як синус і косинус, в тому, що він вимірює відношення катетів, а не протилежного (прилеглого) катета до гіпотенузи. Тангенс кута можна виразити через синус і косинус за допомогою формули:

Тангенси загальних спеціальних кутів.

Тангенс найпоширеніших кутів знаходять, використовуючи пропорції сторін спеціальних трикутників і той факт, що тангенс це відношення синуса до косинуса. Наприклад, ми будемо використовувати рівнобедрений прямокутний трикутник, у якого кути A, B і C рівні 45°, 45° та 90° відповідно.

Ми можемо скористатися теоремою Піфагора: AB 2 =BC 2 +AC 2 . У цьому випадку дві сторони рівні, тобто BC=AC. Отже, маємо AB 2 =2·BC 2 . Це означає, що AB=BC·√2.

Тому і синус, і косинус 45° дорівнюють 1/√2 або √2/2. Оскільки тангенс дорівнює відношенню синуса до косинуса, тангенс 45° дорівнює 1.

Ми також можемо використовувати трикутник 30°–60°–90°, щоб знайти значення синуса 30° і 60°. Пропорції сторін цього трикутника такі: 1:√3:2. Використовуючи ці пропорції, ми маємо sin(30°)=cos(60°)=1/2, а також маємо sin(60°)=cos(30°)=√3/2.​

Властивості тангенса кута.

Тангенс кута має кілька властивостей, які можуть бути корисними при використанні його в різних задачах:

• діапазон значень: значення тангенсу кута можуть бути будь-якими числами, включаючи від’ємні та дробові числа;
• періодичність: значення тангенсу кута повторюються через кожних 180 градусів або π радіан;
• неперервність: тангенс кута є неперервною функцією на своєму діапазоні значень.

Обчислення тангенса кута – приклади з відоповідями.

Наступні приклади вирішуються з використанням вивченого про тангенси кутів. Усі приклади стосуються прямокутного трикутника, зображеного вище.

Приклад 1: обчислити тангенс кута прямокутного трикутника, якщо протилежний катет a дорівнює 4, а прилеглий катет b=3.

Отже, щоб знайти тангенс кута, використовуємо розглянуту вище формулу. В результаті будемо мати:

Таким чином, тангенс кута дорівнює 1.333.

Приклад 2: обчислити тангенс кута, якщо прилеглий катет дорівнює 5, а гіпотенуза 12.

Цей приклад подібний до попереднього, з тією різницею, що спочатку потрібно, за теоремою Піфагора, знайти протилежний катет:

Далі, за формулою тангенса для прямокутного трикутника маємо:

Отже, тангенс кута дорівнює 2.18.

Приклад 3: нехай маємо прямокутний трикутник з кутом α=45 градусів та прилеглим катетом b=15. Знайти протилежний катет.

Щоб знайти протилежний катет a, використовуємо формулу тангенса. Підставляємо відомі значення:

Звідси, протилежний катет дорівнює 15.

Дивіться також:

Тема тангенс кута надзвичайно цікава та корисна для розуміння геометрії та тригонометрії. Однак, є й інші важливі теми, які можуть поглибити ваші знання та сприяти кращому розумінню цієї концепції. Отже, в рамках вивчення тангенса кута, вам можуть бути корисні наступні теми: